1. Ý tưởng sung sướng nhất trong đời tôi
Một chiều Chủ nhật cuối tháng Năm năm 1905 đẹp trời nắng ấm, Albert Einstein và anh bạn thân cùng sở làm Michele Angelo Besso dạo chơi trên đồi Gurten, xa xa dưới chân là thành phố Bern cổ kính hiền hoà, họ bàn luận trao đổi về bí hiểm ether
[1] , rồi ngay tối hôm đó ông suy nghĩ tính toán và dần dần hình thành thuyết tương đối hẹp để vài tuần sau gửi đăng trên tạp chí uy tín thời đó
Annalen der Physik. Trong vòng hai năm, công trình này gây được nhiều tiếng vang tán đồng trong giới hàn lâm và nghiên cứu (đặc biệt bởi Max Planck, người khai phá ra thuyết lượng tử mà dấu ấn ngày càng in đậm trong khoa học và công nghệ hiện đại), mặc dầu còn một số người nghi ngại vì khái niệm cách mạng của thời gian không phổ quát mà co dãn. Nhà vật lý thực nghiệm tiếng tăm Johannes Stark
[2] mời ông viết một bài tổng hợp về lý thuyết mới mẻ đó và bình luận về những hệ quả cùng triển vọng. Công việc đòi hỏi nhiều thời gian vì ông vẫn phải tiếp tục tám giờ mỗi ngày, sáu ngày mỗi tuần làm việc tại Phòng Đăng ký Bằng Sáng chế của thành phố Bern để nuôi tiểu gia đình gồm hai vợ chồng và con trai Hans vừa tròn ba tuổi. Nhưng hoàn tất bài tổng hợp đó cũng là phương cách để Einstein hy vọng tìm được một chức vụ giảng dạy và nghiên cứu ở đại học mà ông hằng ước mơ sau khi tốt nghiệp trường Bách khoa Kỹ thuật ở Zürich (ETH). Chỉ lúc rảnh rang trong giờ cạo giấy ông mới có đôi phút suy tư về vật lý. Rồi một ngày tháng Mười Một năm 1907, đang ngồi trong Phòng Đăng ký, Einstein chợt nẩy ra một ý tưởng mà ông coi như mãn nguyện nhất trong đời:
một người rớt từ trên cao xuống không cảm thấy sức nặng của mình. Theo ông kể, ý tưởng giản dị có vậy thôi, nhưng nó gây một ấn tượng mạnh khiến tôi vô cùng sửng sốt và dần dà đưa đẩy tôi khám phá ra một lý thuyết mới về hiện tượng vạn vật hấp dẫn. Để hiểu cái mới lạ ra sao, có lẽ không gì hơn là trở về thời điểm của cơ học cổ điển, khi Galileo Galilei (1564-1642) phát hiện ra
tính chất phổ quát của vật chất rơi trong không trung bởi sức hút (hấp dẫn hay trọng lực) của trái đất, theo đó nếu vắng một sức cản nào của môi trường, không khí chẳng hạn, thì mọi vật bất kể khối lượng lớn nhỏ ra sao, ở chung một chỗ trên cao sẽ rơi xuống hệt như nhau với cùng một gia tốc
[3] . Chúng ta chưa quên hình ảnh mấy phi hành gia đầu tiên lên cung Hằng năm 1969 thả cái búa tạ cùng mấy sợi lông tơ để thấy chúng quả thực rơi xuống mặt trăng với cùng một gia tốc vì ở đấy vắng không khí cản trở. Thí nghiệm này chỉ tượng trưng thôi chứ chẳng gây chút ngạc nhiên nào vì lâu lắm rồi chính Isaac Newton (1643-1727), vài chục năm sau phát kiến của Galilei, đã chứng nghiệm tính phổ quát nói trên khi quan sát các chu kỳ dao động giống hệt nhau của mấy chiếc quả lắc đồng hồ nặng nhẹ khác nhau. Lực hấp dẫn, không như các lực cơ bản khác (lực của điện từ hay của các hạt nhân nguyên tử), mang đặc tính độc đáo là nó áp đặt một gia tốc duy nhất lên mọi vật thể đặt ở cùng một chỗ, bất kỳ khối lượng lớn nhỏ của vật đó.
Ngoài ra còn thêm một khía cạnh nữa là phương trình căn bản của cơ học
F =
m γ bảo cho ta khối lượng
m mang một đặc trưng là nó diễn tả tính trây ỳ hay quán tính của vật thể. Thực thế, bất kỳ một lực
F nào (trọng lực, điện từ lực, lực hạt nhân, lực cơ bắp hay máy móc) khi áp đặt lên một vật A mang khối lượng
m, vật đó sẽ chuyển động với gia tốc
γ. Cũng một lực
F ấy khi tác động lên một vật B khác mang khối lượng ba lần lớn hơn A thì dĩ nhiên gia tốc của B so với A giảm đi ba lần
, nó chuyển động chậm hơn A hay có quán tính lớn gấp ba lần A. Vậy khối lượng biểu lộ khả năng quán tính của vật thể chống lại sự di động. Kết hợp hai điều trên, trọng lượng
[4] của một vật (lực mà vật ấy bị hút bởi trọng trường tạo nên bởi vạn vật trong vũ trụ) lại tỉ lệ thuận với tính trây ỳ của vật đó và tính phổ quát của Galilei được chứng minh khi ta dùng phương trình cơ bản
[5] của động lực học
[6] .
Mối liên hệ sâu sắc giữa
trọng lực, gia tốc và
quán tính được Newton miêu tả - bằng ngôn ngữ toán học ngắn gọn và chính xác - trong định luật vạn vật hấp dẫn. Chủ yếu Newton, tuy không tìm được nguyên nhân tại sao có sự liên hệ như vậy, nhưng đã nhận ra là khối lượng của một vật A mang ba đặc trưng: (i) quán tính của A, (ii) A phải phản ứng ra sao khi trọng lực (tạo ra bởi một vật B khác ở ngoài) tác động lên nó, và (iii) chính vật A cũng tự nó sinh ra một trọng trường để lôi hút mọi vật khác ở xung quanh
[7] và dĩ nhiên lên vật B. Trong vòng hơn hai thế kỷ sau Newton, nhiều nhà khoa học, mặc dầu làm việc trong hệ hình (paradigm) của cơ học cổ điển, hầu như đã quên mất chuyện quan trọng này, chẳng còn mấy ai đào sâu tìm hiểu thêm ba vai trò tiên nghiệm rất biệt lập của khối lượng.
2. Và Einstein xắn tay mở khoá
Mối liên hệ giữa quán tính, gia tốc và trọng lực mà trực giác Einstein linh cảm thấy trong một buổi trưa tháng Mười Một năm 1907 phải gói ghém một tín hiệu nào đó và ông bắt đầu suy tư. Lao tâm khổ tứ, gian nan lặn lội trong sai lầm rồi tỉnh ngộ, khi vui lúc nản trong tám năm trường
[8] để cuối cùng ngày 25 tháng Mười Một năm 1915 bừng sáng, ông rẽ mây chỉ lối cho nhân loại khai thác một kho tàng tri thức vô ngần sâu sắc, không những của vật lý mà cũng của vũ trụ quan và triết học nói chung. Ông mường tượng, trước hết ta sẽ quan sát được gì trong một cái thang máy đứt dây và rơi tự do trong không trung bởi tác động của trọng trường quả đất. Theo tính chất phổ quát của Galilei, tất cả mọi vật ở trong thang, kể cả chính nó đều rơi như nhau với cùng một gia tốc
g, nên so với sàn thang thì chúng hoặc đứng yên hoặc lướt đi đều đặn với vận tốc cố định. Ngày nay các phi hành gia lơ lửng trong những hỏa tiễn thám hiểm vũ trụ là hình ảnh quen thuộc của hiện tượng
vô trọng lực. Bất kỳ mỗi điểm trong thang máy rơi đều có thể coi như một hệ qui chiếu
quán tính [9] , trong đó trọng lực như bị xóa đi, phản ánh ý tưởng sung suớng nhất trong đời Einstein. Thêm bước nữa, ông mường tượng một nơi xa lánh tất cả mọi thiên hà tinh tú, một không gian ở đó vắng mặt trọng trường. Trong cái không gian vô trọng lực ấy, có một hộp mà ta đẩy mạnh
lên cao với một gia tốc nào đó, ta thấy
mọi vật ở trong hộp bị đẩy rơi ngược chiều
xuống thấp với
cùng một gia tốc, giống như hộp bị hút xuống bởi một trọng lực, điều quá quen thuộc trên xe hơi khi ta bất chợt nhấn mạnh phanh, mọi người như bị kéo về phía trước. Vậy thì vận chuyển có gia tốc nào khác gì tác động của trọng trường, có một mối liên hệ mật thiết giữa gia tốc và sức hút của trọng lực. Những tác dụng của một trọng trường
thực có thể như bị
xóa bỏ trong một hệ qui chiếu rơi tự do (gia tốc ≠ 0), hoặc khi ta khảo sát vận chuyển có gia tốc, một trọng trường
ảo như được
tạo ra. Để hiểu lý do tại sao Einstein lại chú tâm đến gia tốc khi đang viết bài tổng hợp về thuyết tương đối hẹp (trong đó chỉ có sự di chuyển
đều đặn, gia tốc = 0), mời bạn đọc trở về với
nguyên lý tương đối mà Galilei tóm tắt trong một câu ngắn gọn "di chuyển
đều đặn cũng như không’’, hàm ý rằng trong hai hệ quy chiếu, một cái đứng yên (tọa độ x,y,z,t), một cái di động đều đặn với vận tốc v cố định (tọa độ x’,y’,z’,t’), các định luật miêu tả thiên nhiên đều giống hệt nhau
[10] , hay f(x,y,z,t) = f(x’,y’,z’,t’) hàm số f tượng trưng cho một định luật vật lý nào đó
[11] . Khi nguyên lý này áp dụng cho điện từ để diễn tả vận tốc ánh sáng
c không thay đổi trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính thì hàm số f chính là f(x,y,z,t) ≡ (x² + y² + z²) - (
ct)². Đó là điểm khởi đầu, từ đó Einstein, Lorentz và Poincaré mỗi người một vẻ đã xây dựng nên thuyết tương đối
hẹp (hay thuyết tương đối
đặc biệt, phụ chú 12). Có lẽ trong tiềm thức, Einstein tự đặt câu hỏi, các định luật sẽ thay đổi ra sao trong trường hợp các hệ quy chiếu di chuyển
không đều đặn, và khi phân tích những điều vừa kể trên về thang máy rơi, ông nhận ra vai trò quyết định của trọng trường trong sự nới rộng phạm vi
không gia tốc của thuyết tương đối hẹp sang phạm vi
có gia tốc của thuyết tương đối
rộng (hay thuyết tương đối
tổng quát). Câu "di chuyển đều đặn cũng như không’’ của Galilei, qua ý tưởng sung sướng nhất trong đời của Einstein, nay biến thành "di chuyển không đều đặn chẳng khác gì tác động của trọng lực’’, đã mở đầu một kỷ nguyên mới cho vật lý, nới rộng thuyết tương đối đặc biệt sang thuyết tương đối tổng quát để thay thế thuyết vạn vật hấp dẫn của Newton, định luật cổ điển này chỉ là truờng hợp xấp xỉ gần đúng của thuyết tương đối rộng vô cùng chính xác. Hơn nữa còn thêm một nguyên nhân thúc đẩy Einstein mở rộng thuyết tương đối đặc biệt vì ông nhận ra có một mâu thuẫn giữa thuyết này (theo đó vận tốc của mọi tín hiệu đều
có hạn, kể cả ánh sáng) và luật cổ điển vạn vật hấp dẫn (theo đó trọng lực truyền đi với vận tốc
vô hạn để vạn vật hút nhau
tức thì). Vậy bằng cách nào đó sửa đổi luật hấp dẫn Newton sao cho hòa đồng với thuyết tương đối hẹp sẽ tự động giải đáp được mâu thuẫn nói trên. Dùng
nguyên lý tương đương giữa gia tốc và trọng lực như một tiền đề, ông suy diễn, dùng dụng cụ toán học để tìm một định luật mới về hấp dẫn, hơn nữa còn đề xuất những hệ quả và tiên đoán những hiện tượng kiểm soát đo lường được. Cách tiếp cận cách tân như vậy khởi đầu từ Galilei - trong đó suy luận, phê phán bằng lý tính và kiểm chứng bằng thực nghiệm đóng vai trò chủ đạo - là bài học sâu xa cho hậu thế và tiếp tục làm kim chỉ nam cho tiến trình nghiên cứu sáng tạo của khoa học ngày nay.
3. Không-thời gian bốn chiều biến dạng từ phẳng sang cong
3a. Vài điều sơ đẳng về thuyết tương đối hẹp, một giai đoạn tối quan trọng cần thấu triệt để đi xa hơn nữa trong tiến trình khám phá ra thuyết tương đối rộng. Einstein khởi đầu bằng chấp nhận nguyên lý tương đối áp dụng cho điện từ như một tiền đề - theo đó vận tốc ánh sáng bao giờ cũng cố định và bằng
c, không thay đổi trong bất kỳ các hệ quy chiếu quán tính nào - mà Michelson và Morley đã chứng tỏ bằng thực nghiệm. Trong hai hệ quy chiếu, một đứng yên (toạ độ x,y,z,t), một di chuyển đều đặn với bất kỳ vận tốc v cố định (toạ độ x’,y’,z’,t’), vận tốc ánh sáng
không thay đổi được diễn tả bằng ngôn ngữ toán học là bình phương
khoảng cách s² của ánh sáng truyền đi trong hai hệ quy chiếu phải như nhau hay bất biến
[12] : s² ≡ (x² + y² + z²) - (
ct)² = (x’² + y’² + z’²) - (
ct’)². Với thời gian phổ quát duy nhất của Newton (t = t’) thì s² không sao bất biến được và đã làm đau đầu bao nhà khoa học. Điểm then chốt của thuyết tương đối hẹp là các vị Lorentz, Poincaré, Einstein mỗi người một cách đã phát kiến ra hệ số k = 1 ⁄ √(1− v² ⁄
c²) ≥ 1 chìa khoá mở đường vô cùng quan trọng cho cơ học tương đối tính
[13] . Từ tiền đề nguyên lý tương đối và hệ số k, Einstein suy ra nhiều hệ quả kiểm chứng được bằng thực nghiệm, trước hết là phương trình E = k
mc² của thế kỷ, liên kết năng lượng E khổng lồ với khối lượng
m nhỏ bé
[14] , tuyệt vời và đại chúng. Thông điệp thứ hai, sâu sắc và kỳ lạ, là chẳng có một thời gian tuyệt đối và phổ quát trong một không gian biệt lập với thời gian. Có muôn ức thời gian (t’ và t dẫu khác nhau nhưng cả hai đều chỉ định thời gian trong hai hệ quy chiếu) nhanh chậm không đồng đều, thời gian của mỗi hệ quy chiếu tùy thuộc vào vận tốc chuyển động của hệ ấy. Mỗi thời-điểm phải gắn quyện với mỗi không-điểm trong một thực tại bốn chiều gọi là thế giới Minkowski để diễn tả một sự kiện. Khoảng cách thời gian của bạn khác của tôi, ở mỗi điểm không gian lại gắn liền một đồng hồ đo thời gian với nhịp điệu tích tắc khác nhau
[15] . Sở dĩ bạn và tôi tưởng rằng chúng ta chia sẻ một thời gian phổ quát, chỉ vì cộng nghiệp con người trong cái không gian quá nhỏ bé của trái đất so với vũ trụ, bạn và tôi đâu có xa nhau gì, vận tốc tương đối giữa chúng ta thấm gì so với vận tốc ánh sáng (v²⁄
c² « 1, k ≈ 1). Hơn nữa không có mũi tên thời gian lạnh lùng trôi của trực giác mà cơ học cổ điển Newton thừa nhận, cũng không có khái niệm hiện tại, cái
bây giờ chẳng thể xác định và giữ vai trò ưu tiên đặc thù nào hết vì cái
lúc nào phải đi với cái
ở đâu. Hơn nữa, không gian và vật chất, cái vỏ chứa và cái bị chứa, lại như hình với bóng trong vũ trụ vô thuỷ vô chung co dãn (thuyết tương đối rộng, xem phần 4, 5). Đã không có hiện tại thì nói chi đến quá khứ và tương lai, đó là nội dung triết học quá ư kinh ngạc của thuyết tương đối hẹp và rộng trong nhận thức về thời gian, nó không phải là mũi tên trôi một chiều từ quá khứ đến tương lai mà chỉ là một trong bốn thành phần của thực tại mang tên gọi không-thời gian chẳng cứng nhắc mà đàn hồi. Diễn tả hàm súc nhất về nhận thức này có lẽ nằm trong bức thư Einstein gửi cho con trai của Besso
[16] khi nghe tin bạn mất. Bức thư viết: "
Vậy bạn đã trước tôi một chút, giã từ cái thế gian lạ lùng này. Nhưng cái đó chẳng nghĩa lý gì. Đối với chúng ta, những nhà vật lý có xác tín, sự chia cách quá khứ, hiện tại, tương lai chỉ là một ảo tưởng, dẫu nó dai dẳng đến thế nào’’.
Điều cơ bản cần nhấn mạnh là không gian và thời gian chẳng còn biệt lập nhưng mật thiết liên đới trong một thực thể bốn chiều không-thời gian mà Einstein sẽ khai thác sâu xa thêm trong lý thuyết tương đối rộng với sự thay đổi toạ độ quy chiếu phi quán tính (gia tốc ≠ 0).
3b. Chúng ta khởi đầu đi từ không gian ba chiều tuyệt đối của Newton để sang thế giới không-thời gian bốn chiều của Minkowski, cả hai đều phẳng theo nghĩa hình học Euclid. Nếu khoảng cách vi phân bình phương trong không gian ba chiều là |dX|² = dx² + dy² + dz² (quỹ tích là mặt cầu Ѕ
2 trơn tru) thì bình phương khoảng cách vi phân ds² trong không-thời gian bốn chiều là ds² = (dx² + dy² + dz²) - (
cdt)² (quỹ tích biểu hiện bởi hình hyperboloïd Ѕ
3 trơn tru). Đó cũng là định lý Pythagoras mở rộng trong bốn chiều với các hệ số ±1 thay vì chỉ có +1 của |dX|². Khi mở rộng quy mô vận chuyển
không gia tốc của thuyết tương đối
hẹp (với hình học
phẳng của không-thời gian bốn chiều Minkowski) sang quy mô vận chuyển
có gia tốc của thuyết tương đối
rộng, năm 1912 (vâng 5 năm sau cái ý tưởng sung sướng nhất trong đời, trải qua bao nhiêu gian lao), trực giác của Einstein cảm thấy cấu trúc hình học phẳng sẽ phải biến dạng sang hình học cong
[17] vì gia tốc còn hàm nghĩa sự quay, uốn lượn mà mặt phẳng hay hình cầu trơn tru giản dị không diễn tả được hết cái phức tạp, tế nhị của mọi quỹ đạo trong thiên nhiên. Để thống nhất các ký hiệu toán dùng trong hình học bốn chiều phẳng hay cong, thay vì t, x, y, z, ta hãy dùng bốn tọa độ
ct ≡ x
0, x ≡ x
1, y ≡ x
2, z ≡ x
3, và định nghĩa một
tứ-vectơ xμ là vectơ có bốn thành phần x0, x1, x2, x3 (thay vì vectơ quen thuộc x với ba thành phần x,y,z trong không gian ba chiều). Trong hình học phẳng Minkowski, bình phương khoảng cách ds² = (dx² + dy² + dz²) - (
cdt)² giữa hai không-thời điểm xμ và (xμ +dxμ) sẽ viết dưới dạng ds² = ημν dxμ dxν, các chỉ số μ (hay ν) có giá trị 0, 1, 2, 3 và hệ số ημν là những con số thực như +1 hay −1 (thí dụ ηoo = −1, ηi i = +1, ηoi = ηio = ηij = 0 với i ≠ j, i hay j là 1,2,3). Ngoài ra trong ký hiệu ngắn gọn ημν dxμ dxν, ta theo quy ước
[18] Riemann-Einstein làm tổng hợp các đóng góp của cả hai chỉ số μ,ν.
Làm sao mở rộng sang hình học cong những hệ số ημν quá đơn sơ của hình học phẳng Minkowski? Einstein nhớ lại những bài giảng (của thầy dạy toán C.F.Geiser khi ông là sinh viên ở ETH) về mặt cong hai chiều Ѕ2 mà nhà toán và vật lý học trứ danh Karl F. Gauss
[19] đã từng phân tích cấu trúc lồi lõm của mặt quả bóng bầu dục, so sánh với mặt quả cầu trơn tru. Ngoài ra còn công trình của nhà toán học Bernhard Riemann, môn đệ của Gauss, đã tổng quát hóa kết quả của thầy từ bề mặt bầu dục hai chiều sang trường hợp nhiều chiều. Để mở đầu, ta hãy xét trường hợp những bề mặt hai chiều và nhận thấy khoảng cách giữa hai điểm kế cận vi phân trên mặt quả cầu tròn trơn tru chẳng khác chút nào khoảng cách giữa hai điểm kế cận vi phân trên mặt phẳng, nếu ta hình dung bao quanh hai điểm trên mặt cầu bằng trang giấy phẳng tiếp xúc sát với hình cầu, và hai trục tọa độ thẳng góc trên hình cầu sẽ là hai đường kinh tuyến và vĩ tuyến quen thuộc của trái đất lý tưởng phẳng phiu tròn trĩnh. Mặt cầu (như mặt phẳng) sẽ bị bao trùm bởi một mạng lưới gồm muôn vàn hình vuông vi phân, ta chỉ cần hai toạ độ x, y như trên mặt phẳng để xác định khoảng cách d
l giữa hai điểm vi phân trên mặt cầu, d
l² = dx² + dy². Nếu mặt cầu (hay bóng bầu dục) lồi lõm, ta cũng chẳng cần một tọa độ thứ ba để đo chiều cao hay chiều sâu, nhưng mạng lưới hình vuông sẽ thành mạng lưới của các hình bình hành bao bọc mặt cầu lồi lõm này. Định lý Pythagoras của hình bình hành (chữ nhật không vuông góc) cho ta khoảng cách d
l giữa hai điểm vi phân của mặt hai chiều Ѕ2 lồi lõm: d
l² = g11 dx² + 2g12 dxdy + g22 dy². Vì
mỗi điểm lồi lõm khác nhau bị bao quanh bởi mỗi hình bình hành khác nhau (không như trường hợp mặt cầu trơn tru chỉ có một hình vuông
duy nhất ở mọi điểm), nên ba hệ số g11, g12 và g22 không nhất thiết là con số mà là
hàm của x, y trong trường hợp chung tổng quát, vậy ta có g11(x, y), g12(x, y), g22(x,y). Suy từ hai chiều sang bốn, ta thấy với không-thời gian bốn chiều cong uốn của hình học Riemann, bình phương khoảng cách giữa hai điểm kế cận vi phân (xμ và xμ + dxμ) phải là
ds² = gμν(xλ) dxμ dxν (I)
và ta gọi gμν(xλ),
hàm của tứ-vectơ xλ, là metric (như mét) đo lường khoảng cách giữa hai không-thời điểm trong cấu trúc hình học cong bốn chiều. Sự đối xứng toàn diện trong hoán chuyển μ ↔ ν của d
s² bảo cho ta có tất cả mười
[20] thành phần gμν(xλ) gộp lại trong một đại lượng duy nhất mà ta gọi là ma trận 4×4
g(xλ), cũng như những tứ-vectơ xλ, xμ, xν đều có bốn thành phần x0, x1, x2, x3. Để tóm tắt, trong giai đoạn đầu thai nghén của thuyết tương đối rộng, Einstein đặt nền tảng hình học của một không-thời gian
cong trong đó khoảng cách bình phương giữa những sự kiện vật lý tạo thành những hình hyperboloïd
[21] . Hình này là quỹ tích của tập hợp các điểm cách trung tâm hệ quy chiếu O một độ dài d
s trong thế giới cong bốn chiều
, cũng như mặt hình cầu là quỹ tích của tập hợp các điểm cách trung tâm O một độ dài |dX| trong thế giới phẳng ba chiều. Cấu trúc cốt lõi của hình học cong chính là metric gμν(xλ), một hàm tổng quát của tứ-vectơ xλ. Không có hệ qui chiếu nào ưu tiên hơn hệ khác để diễn tả các hiện tượng vật lý, các định luật vật lý đều phải giữ nguyên dạng trong bất kỳ hệ qui chiếu phi quán tính nào mà ta chọn. Einstein gọi nó là nguyên lý tương đối tổng quát, mở rộng cái nguyên lý tương đối hẹp của Galilei như đã trình bầy ở đoạn 2.
3c. Giai đoạn thứ hai vô cùng quan trọng trong tiến trình xây dựng thuyết tương đối rộng là sự đồng nhất hóa metric gμν(xλ) của
cấu trúc hình học thuần túy với
trọng trường của vật lý. Đó quả thật là một cách mạng trong tư duy khoa học của loài người khi Einstein gắn bó hai đại lượng cơ học và hình học mà trước ông ai cũng nghĩ rằng hoàn toàn khác biệt. Nó thể hiện ý tưởng sung sướng nhất đời của Einstein mà ông gọi là
nguyên lý tương đương giữa gia tốc và trọng trường đã nói ở trên. Thực thế, chúng ta hãy xem xét một quan sát viên trong hệ quy chiếu quán tính của không-thời gian phẳng bốn chiều Minkowski, người ấy không nhận ra một trọng trường nào cả, mọi vật không rơi mà di chuyển đều đặn hay đứng yên, và thước đo lường khoảng cách không-thời gian là metric đơn sơ ημν. Nay người ấy ở trong thang máy rơi với gia tốc ≠ 0, anh ta thấy hai điều (i) tọa độ không-thời gian sẽ biến đổi một cách phi tuyến tính với metric gμν(xλ) thay đổi từ điểm này sang điểm kia rất phức tạp (ii) mọi vật trong thang rơi nhanh, sự chuyển động có gia tốc này giống như tác động của một trọng trường ảo, vậy metric gμν(xλ) diễn tả trọng trường theo nguyên lý tương đương. Cái gắn bó đồng nhất giữa hình học và cơ học, giữa metric và trọng trường đưa ta đến kết luận là hai vật hút nhau chỉ vì hai vật đó rơi tìm nhau theo con đuờng
trắc địa của hình học cong diễn tả bởi gμν(xλ). Đường trắc địa
[22] là con đường tối ưu (ngắn hay dài nhất) nối kết hai điểm A và B với nhau, đó chính là quỹ đạo của hai vật đặt ở A, B chuyển động tự nhiên (chẳng do một lực hút nhau nào tác động lên chúng cả) trong cái thế giới cong bốn chiều của không-thời gian. Dưới ánh đèn huyền ảo của thuyết tương đối rộng, hiện tượng vạn vật hấp dẫn cổ điển "cơ bắp" của Newton nay tỏa hiện như cảnh tượng cong uốn của không gian để làm vật chất rơi tìm nhau!
3d. Giai đoạn cuối cùng trong quá trình xây dựng thuyết này là Einstein truy tầm nguồn gốc của cấu trúc không-thời gian cong, nghĩa là khám phá ra phương trình mà metric hình học gμν(xλ) - nay chính là trọng trường - phải tuân theo. Newton đã chứng minh chính khối lượng của một vật, vừa là nguyên nhân tạo ra trọng trường tác động lên vạn vật, cũng vừa là quán tính diễn tả vật ấy chịu sự chi phối của trọng lực tạo ra bởi các vật khác nó. Vì năng lượng cũng là khối lượng (
m = E/
c²) theo thuyết tương đối hẹp, vậy chính mật độ năng lượng đã tạo ra cái cấu trúc cong của không-thời gian bốn chiều để vạn vật rơi vào nhau theo những
đường trắc địa. Hơn nữa, mật độ năng lượng phân phối trong không-thời gian chỉ là một trong mười thành phần của tenxơ năng-xung lượng
[23] Tμν, vậy tenxơ
Tμν này mới chính là nguyên nhân tạo ra metric gμν(xλ) để diễn tả cấu trúc cong của không-thời gian. Chắc chắn chẳng phải ngẫu nhiên mà cả hai đại lượng gμν(xλ) và
Tμν đều có đúng mười thành phần đối xứng với hoán chuyển μ↔ν, hệ quả của sự nhất quán giữa toán với vật lý trong cách suy luận và diễn tả.
4. Cổng Rashomon và ống khói nhà máy
Lý thuyết tương đối rộng, hay định luật vạn vật hấp dẫn của Einstein
[24] có thể tóm tắt trong một câu: Không-thời gian chẳng cứng nhắc mà đàn hồi, hình học Minkowski bốn chiều phẳng lặng bị
biến dạng thành cong uốn bởi năng-khối lượng của vật chất. Chính sự phân phối năng lượng đã tạo ra cấu trúc cong của không-thời gian, nhờ đó vạn vật rơi vào nhau như một biểu hiện của trọng trường chứ không có sức hút nào giữa chúng cả. Ý tưởng vật lý đã thành hình, vấn đề còn lại của Eintein là tìm ra phương trình toán học để diễn tả sự biến dạng
đàn hồi của thế giới phẳng Minkowski. Tính đàn hồi của một vật là khả năng vật đó trở lại trạng thái ban đầu khi mất đi dần lực áp đặt lên nó để làm nó biến dạng, và Robert Hooke
[25] , nhà bác học Anh (1635-1703) đồng thời với Newton, đã đặt nền móng khảo sát tính chất này với phương trình
B = κ
T, ký hiệu
B chỉ sự biến dạng đàn hồi và
T là lực căng làm biến dạng vật. Trong trường hợp không-thời gian bị
biến dạng bởi năng-khối lượng, lực căng này chính là tenxơ năng-xung lượng
Tμν như đã phân tích ở trên, hệ số tỷ lệ κ nhỏ thì biến dạng ít, hay 1/κ lớn thì không-thời gian càng cứng nhắc. Sự tìm kiếm toán tử
B làm biến dạng cấu trúc hình học phẳng kéo dài trong ba năm gian lao, khởi đầu vào tháng Tám năm 1912, khi Einstein từ chức giáo sư đại học ở Praha để trở về đảm nhận chức vụ giáo sư thực thụ ở trường cũ Bách khoa Công nghệ Zürich (ETH). Tại đây ông đề nghị cộng tác với bạn xưa cùng trường Marcel Grossmann, một nhà toán hình học nay là chủ nhiệm khoa toán-lý của ETH trong việc tìm kiếm toán tử
B. Nhà toán học Grossmann, không quen thuộc với hình học không gian phi thuần nhất (chứa đựng vật chất và năng-xung lượng) mà nhà vật lý Einstein cần đến, bèn tham khảo tài liệu, thư mục và mách bảo cho bạn những điều cần thiết chứa đựng trong công trình của Riemann và những nhà toán học kế tiếp như Christoffel, Ricci và Levi-Civita để Einstein đi từ gμν(xλ) mà xây dựng nên đối tượng toán học
B(g
μν(x
λ)) ≡
Bμν. Toán tử
Bμν làm biến dạng cấu trúc hình học phẳng thành cong không đơn sơ chỉ là sự khác biệt gμν(xλ) – ημν như ta mơ hồ đoán vậy. Thực thế, theo nguyên lý tương đương giữa trọng trường (vật lý) và gia tốc (hình học) “sung sướng nhất đời ông” trong cái không-thời gian với cấu trúc tổng quát phức tạp gμν(xλ), ta để thang máy rơi tự do và câu hỏi là trọng trường có thực sự bị xoá bỏ đi
ở mọi điểm trong cái thang rơi có gia tốc? Câu trả lời là sự xóa bỏ trọng trường bởi gia tốc không trọn vẹn, hãy còn chút đỉnh thặng dư vì thực ra hai điểm cách nhau vi phân
không rơi đồng nhất như hệt nhau với cùng một gia tốc. Điều này thể hiện qua việc metric gμν(xλ) thay đổi từ điểm này sang điểm kia. Cái thặng dư gia tốc đó có thể mường tượng qua thí dụ thủy triều của nước biển sớm tối trào lên và rút đi. Thực vậy nước biển ở phần bán cầu trái đất
gần mặt trăng (mặt trời) bị “rơi kéo” vào mặt trăng (mặt trời) với gia tốc
khác với gia tốc của nước biển ở bán cầu đối nghịch
xa mặt trăng (mặt trời), và sự khác biệt kép ấy chính là nguyên nhân của thủy triều. Vậy làm sao tính cái thặng dư gia tốc ở mỗi thời-không điểm? Mà nói đến sự khác biệt của gμν(xλ) giữa hai điểm vi phân xλ và xλ + dxλ là nói đến đạo hàm, vậy ta không ngạc nhiên khi thấy đạo hàm của gμν(xλ) (như hệ số Christoffel và tenxơ Ricci
Rμν diễn tả độ cong của hình học Riemann) xuất hiện trong
Bμν, và ông tìm thấy
Bμν =
Rμν – (½)
Rgμν, đó là chặng đường vất vả nhất kéo dài ba năm
[26] . Giai đoạn chót là xác định được hệ số κ trong phương trình
Bμν = κ
Tμν. Để tìm nó, định luật hấp dẫn cổ điển của Newton được Einstein khai thác như một dạng xấp xỉ gần đúng
[27] của phương trình
R00 – (½)
Rg00 = κ
T00. Thực thế, thành phần
T00 (phụ chú 23) vì tỷ lệ thuận với mật độ năng lượng E =
mc2 nên cũng tỷ lệ với mật độ khối lượng
m trong thể tích của một vật nào đó (trái đất chẳng hạn) và chính
m tạo ra gia tốc G
m/R
2 áp đặt lên các vật khác (ở cách nó một đoạn không gian R) để làm chúng vận hành, và ông xác định được
[28] hệ số κ = 8πG/
c4, G là hằng số Newton của trọng lực. Ngày 25 tháng Mười Một năm 1915, nhà vật lý Einstein sau ba năm lăn lộn với hình học đã trao tặng cho nhân loại thuyết tương đối rộng mà ngày nay mang đầy tính thời sự khoa học nóng hổi, từ nghiên cứu cơ bản (vũ trụ và sự hình thành, Big Bang, Big Crunch, lỗ đen, siêu dây, năng lượng và vật chất tối, chân không lượng tử, lý thuyết thống nhất toàn thể) đến muôn vàn ứng dụng (thí dụ hệ thống định vị toàn cầu
[29] mà chúng ta dùng hàng ngày trong các phương tiện di chuyển). Mời bạn đọc chiêm ngưỡng phương trình Einstein mà vế trái mô tả hình học không-thời gian bốn chiều trong đó vận hành vạn vật, còn vế phải là vật chất xây dựng nên cái cấu trúc cong uốn của không-thời gian:
Rμν – (½)R gμν = (8πG/c4)Tμν (II)
Trong mười thành phần của phương trình Einstein, chỉ có thành phần 00 là tương hợp với định luật cổ điển vạn vật hấp dẫn của Newton (sau khi ta áp dụng phép tính xấp xỉ gần đúng), còn chín cái khác là mới. Thông điệp vật lý gói ghém trong phương trình trên có thể tóm tắt như sau: khối lượng áp đặt không-thời gian phải cong đi, còn không-thời gian chi phối bắt khối lượng phải chuyển động ra sao. Sự vận hành của vật chất (ánh sáng cũng là vật chất) bởi trọng trường không do một lực cơ bắp nào hết mà thực ra sự di chuyển đó lại ‘trây lười nhất’ theo đường trắc địa trong một không-thời gian bị cong bởi sự hiện hữu và phân phối của vật chất. Đáp lại, vật chất và năng lượng luôn luôn biến chuyển của chúng cũng tác động tới độ cong của không-thời gian, và cứ thế tiếp diễn liên hồi vũ điệu giữa cơ học và hình học. Mật độ năng-xung lượng càng lớn ở đâu thì không-thời gian cong uốn càng nhiều ở đấy, đó là gốc nguồn của lỗ đen, một không-thời gian tận thế ở đó bất kỳ vật chất nào, kể cả ánh sáng và tín hiệu thông tin, khi đi gần đều bị hút chặt vào chẳng sao thoát khỏi. Mời bạn đọc coi bức thư ông gửi ngày mồng 9 tháng giêng năm 1916 cho Karl Schwarzschild (nhà vật lý thiên văn Đức đang hành quân ở mặt trận Nga - Đức trong Thế giới Đại chiến 1914-1918, vào những giờ phút ngừng bắn đã đầu tiên giải được chính xác phương trình của thuyết tương đối rộng mà Einstein vừa công bố tháng trước): “Cái đặc điểm của lý thuyết mới này là không gian và thời gian tự chúng chẳng có tính chất vật lý gì cả. Nói đùa thôi, giả thử mọi vật trên đời biến mất, thì theo Newton ta hãy còn một không gian rỗng tuếch phẳng lặng mênh mang và mũi tên thời gian vẫn lặng lẽ trôi, nhưng theo tôi thì tuyệt nhiên chẳng còn chi hết, cả không gian lẫn thời gian và vật chất [30] !” Thực là một cuộc cách mạng về tư duy mà Einstein mang đến cho nhân loại: chính vật chất trong đó có da thịt tâm tư con người xây dựng ra vũ trụ. Vật chất và không-thời gian chỉ là hai khía cạnh của một bản thể duy nhất, cái này sinh cái kia, không có cái này thì cũng chẳng có cái kia. Nhà vật lý Nhật bản Yoichiro Nambu [31] qua bức tranh nửa trào lộng nửa trầm tư minh họa vế trái phương trình Einstein bằng cổng Rashomon xa xưa của một thoáng không gian thanh thoát bên bờ suối, còn vế phải bên kia cầu vương vấn trong cảnh trần ai bởi khói than nhà máy phản ánh vật chất nặng nề!
Ngay sau khi khám phá ra phương trình (II) của thuyết tương đối rộng, Einstein đề xướng hai phương thức để kiểm chứng thuyết đó bằng thực nghiệm [32] . Để đánh giá phần nào gia tài tri thức mà Einstein trao cho nhân loại, mời bạn đọc nhớ lại vào cuối thế kỷ 19, khoa học thời "tiền tương đối” được hiểu như sau: Không gian ba chiều như một sự thực tiên nghiệm ‘trời cho’, một sân khấu lạnh lùng hoàn toàn biệt lập với vật chất thao diễn trong đó. Cấu trúc hình học của không gian phẳng (tổng cộng ba góc hình tam giác bằng 180 độ) đã được khai thông bởi các nhà hiền triết Hy Lạp Euclid, Pythagoras từ hơn hai thiên niên kỷ. Thời gian như một mạch đập "hiện sinh” của vũ trụ, một mũi tên lặng lẽ trôi vô thủy vô chung. Vật chất là một thực thể thường trực vĩnh viễn không sinh không hủy, và sau hết lực tác động tức thời lên vật chất làm chúng vận hành. Einstein đã cho ta một nhận thức khoa học và triết học khác: bước chuyển thời gian là một ảo tưởng, chỉ có một thực tại duy nhất không-thời gian bốn chiều gắn bó với nhau, chẳng có cái "bây giờ”. Vạn vật phù du, vô thường hằng, không ngừng đổi biến. Hơn nữa toàn bộ không gian, thời gian, lực, vật chất chẳng sao tách biệt, cặp không-thời gian (cái vỏ chứa) và cặp lực-vật chất (cái được chứa) chồng chéo liên kết bên nhau, cấu trúc không phẳng mà cong uốn của vỏ được xây dựng bởi chính cái nội dung chứa đựng trong vỏ. Năng lượng là gốc nguồn chung cho tất cả, từ đó vật chất, lực, không gian, thời gian được tạo dựng nên.
© 2008 talawas
[1]Chất liệu giả tưởng trong đó dao động sóng ánh sáng, chất liệu ấy phải trải rộng khắp vũ trụ, đâu cũng có, vì ánh sáng đến với ta từ những thiên thể xa xăm. Định kiến (trước năm thần kỳ 1905) cho rằng phải có một chất liệu ether để nhờ đó sóng ánh sáng mới truyền đi được (như sóng nước phải có nước, sóng âm thanh phải có không khí) đã ăn sâu vào tâm khảm mọi người - kể cả Maxwell, người khai phá ra lý thuyết điện từ và chứng minh ánh sáng là sóng điện từ - không ai tin rằng sóng điện từ có thể truyền đi trong chân không mà nhờ Einstein ta biết (xem phần 3a và các phụ chú từ 9 đến 16 về những điều cơ bản của thuyết tương đối hẹp).
[2]Trớ trêu thay, Johannes Stark cũng như Philipp Lenard (người khám phá ra hiệu ứng quang điện mà cũng lại Einstein giải thích năm 1905 bằng thuyết lượng tử) sau này theo chủ nghĩa cực đoan phát xít, đánh phá mạnh mẽ Einstein, con người của lương tâm và trí tuệ, của tự do dân chủ, ngay từ trước Thế giới Đại chiến thứ Nhất (1914-1918) đã chống chủ nghĩa quốc gia dân tộc và tôn giáo hẹp hòi, nhìn xa đề xướng một Âu châu hòa hợp. Lịch sử từng chứng kiến chuyện đánh phá trí thức bởi đồng nghiệp như thời Staline bên Liên Xô, McCarthy bên Mỹ, Cách mạng Văn hóa của Mao bên Trung Quốc. Việt Nam cũng không là ngoại lệ!
[3]Chuyện kể Galilei đứng trên đỉnh tháp nghiêng của thành phố Pisa, thấy đá và giấy rơi hệt như nhau rồi phát hiện ra tính chất phổ quát chỉ là huyền thoại, thực ra ông làm thí nghiệm trên những mặt phẳng nghiêng mà suy luận ra tính phổ quát nói trên.
[4]Trọng lượng của A là sức hút (hay trọng lực) F của trái đất - hay của mặt trăng, tinh tú hoặc bất kỳ vật B nào khác A - áp đặt lên A. Nếu M là khối lượng của vật B (trái đất chẳng hạn) và m là khối lượng của vật A, thì theo Newton, trọng lực F của B áp đặt lên A bằng GMm/ R2, với R là khoảng cách không gian giữa A và B, G là hằng số hấp dẫn Newton. Nói cách khác, B tạo ra một trọng trường để lôi hút mọi vật về nó. Trường (tỏa rộng khắp không gian và thay đổi với thời gian để diễn tả tác động của lực) là một khái niệm sâu sắc của vật lý mà trực giác của Faraday (một nhà thực nghiệm xuất chúng, tự học, làm thợ in để sinh sống mà chỉ mê say nghiên cứu khoa học) nhận ra khi ông nhìn những vụn sắt trải đều đặn chung quanh hai trục bắc nam của thanh nam châm. Điện tích di chuyển sinh ra điện từ trường, còn khối lượng tạo ra trọng trường.
[5]Thực ra ở thời điểm Galilei và Newton, người ta tưởng rằng có hai loại khối lượng m và m’ khác nhau, m diễn tả khối lượng để tạo ra trọng trường trong công thức GMm/ R2, còn m’ (trong phương trình cơ bản của động lực học F = m’γ) là khối lượng diễn tả khả năng trây ỳ của vật thể chống lại sự di chuyển do bất kỳ lực F nào (không nhất thiết phải là trọng lực) áp đặt lên nó. Tính phổ quát của Galilei được Newton minh giảng bằng giả thuyết m = m’ (xem phụ chú 6). Giả thuyết m = m’ được chứng nghiệm bởi nam tước von EötVös vào cuối thế kỷ 19 với sai số 10−9, ngày nay sai số giảm xuống 10−12.
[6]Thực thế, trọng lượng F = GMm/ R2 của A (nghĩa là lực tạo nên bởi trọng trường của trái đất áp đặt lên A) tỉ lệ thuận với m, khi kết hợp với phương trình cơ bản của động lực học F = m’γ = m γ mà Newton phát hiện năm 1686, cho ta thấy gia tốc γ = GM/ R2 chuyển vận của A không phụ thuộc vào khối lượng m của nó nữa, đó là tính phổ quát của trọng trường mà Galilei tìm ra. Thay vì γ, các sách giáo khoa thường hay dùng ký hiệu g (gravitation) để chỉ định gia tốc chung cho mọi vật hút bởi trọng trường của trái đất. Đo được g ≈ 9. 81 m/s2 là gián tiếp đo được khối lượng khổng lồ M ≈ 5.97 × 1024 kg của quả địa cầu (thực nghiệm của Henry Cavendish năm 1798). Trái lại điệntừ trường E và H áp đặt lên một vật thể (mang điện tích q) làm cho nó chuyển động với gia tốc thay đổi theo khối lượng m của vật ấy. Thực thế, lực điện-từ f = q (E + V× H), khi kết hợp với f = mγ làm cho vật chuyển động với gia tốc γ ~ q/m. Còn trong thế giới vi mô hạ nguyên tử, lực mạnh (sắc động lực học luợng tử tác động lên các hạt cơ bản quark để làm chúng gắn kết với nhau thành hạt nhân nguyên tử) lại chẳng giống trọng lực hay điện từ lực chút nào. Lực mạnh tăng lên với khoảng cách r giữa hai quark, trong khi lực cổ điển của thế giới vĩ mô (trọng lực và điện-từ) giảm đi như 1/ r2 .
[7]Sự đối xứng, hoán chuyển toàn diện giữa M và m trong sức hút lẫn nhau F = GMm/ R2 của hai vật A và B cho ta thấy ngay chính A cũng tác động lên B làm cho B di chuyển với gia tốc Gm/ R2 và ngược lại trọng trường tạo ra bởi B làm cho A vận chuyển với gia tốc GM/ R2 .
[8]Như tác giả kể lại, so với gian lao "siêu phàm", lời của ông, trong việc sáng tạo ra thuyết tương đối rộng thì thuyết tương đối hẹp (với những kết quả kỳ diệu như E = mc2 , thời gian dãn nở, không gian co cụm trong những hệ quy chiếu di động đều đặn) chỉ là trò con trẻ mà ông khám phá ra trong có một buổi chiều Chủ nhật tháng Năm năm 1905, sau bữa dạo chơi và trò chuyện về bí hiểm ether với anh bạn thân thiết Michele Besso cùng sở làm ở thành phố Bern.
[9] Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu di chuyển với vận tốc v đều đặn, cố định với thời gian (gia tốc = 0), kể cả v = 0, ký hiệu in đậm v chỉ định vectơ vận tốc ba chiều không gian, và v ≡ |v|. Từ nay các vectơ ba chiều đều được viết dưới dạng in đậm như k, x … và k = |k|, x = |x|…
[10]Ai trong chúng ta khi đi máy bay cửa sổ đóng kín và không gặp bão lay động mà có thể cảm thấy mình di chuyển với vận tốc khoảng ngàn cây số trong một giờ? Khoảng bốn trăm năm trước đây, Galilei cũng đưa ra một thí dụ tương tự, mở đầu cho nguyên lý tương đối mang tên ông: trong hầm kín mít không giao tiếp gì với thế giới bên ngoài của một chiếc tàu thủy di chuyển đều đặn, ta hãy quan sát những con bướm bay khắp phía và những giọt nước tí tách rơi. Nay để tàu đứng yên, ta thấy bướm vẫn bay và nước vẫn rơi hệt như trước, chẳng có gì thay đổi. Rồi tàu lại di chuyển đều đặn, nhưng với vận tốc và chiều hướng khác, bướm vẫn bay và nước vẫn rơi như khi tàu dừng ở bến. Nói một cách khác: những định luật miêu tả các hiện tượng thiên nhiên (bướm bay, nước rơi) không chút thay đổi gì trên tàu di chuyển đều đặn (bất kỳ vận tốc và chiều hướng nào) kể cả tàu dừng ở bến (v = 0). Người ở trong tàu nếu chỉ quan sát đo lường những hiện tượng động hay tĩnh trong tàu mà không tiếp xúc với bên ngoài để so sánh thì chẳng sao biết là tàu đứng hay đi, và đi với vận tốc nào, chiều hướng nào. Nói khác đi, tĩnh hay di động đều đặn chỉ là chuyện tương đối, chẳng có lý gì để khẳng định bến hay tàu, cái nào đứng, cái nào đi.
[11](x,y,z,t) chỉ định toạ độ không gian-thời gian bốn chiều của một hiện tượng vật lý xẩy ra trong hệ quy chiếu đứng yên, còn (x’,y’,z’,t’) trong hệ quy chiếu di chuyển với vận tốc đều đặn v so sánh với (x,y,z,t).
[12]Các tọa độ bốn chiều (x,y,z,t) và (x’,y‘, z’,t’) của hai hệ quy chiếu phải liên hệ ra sao để làm cho hàm f(x,y,z,t) nói trong bài, nay gọi là đại lượng s² = (x² + y² + z²) - (ct)² = (x’² +y’² +z’²) - (ct’)² không thay đổi, nghĩa là s² bất biến. Sự bất biến của s² diễn tả hiện tượng vật lý theo đó vận tốc ánh sáng c ~ 300000 km/s đo lường trên hai hệ quy chiếu (một đứng yên mà ta gọi là trên bến, một di chuyển với bất kỳ vận tốc v nào mà ta gọi là dưới tàu) đều bằng nhau và là c cả. Thực thế khi s² = 0, c = r/t = ± r’/t’ (với r² = x² + y² + z²), dấu ± để chỉ ánh sáng chạy cùng hay ngược chiều trong hai hệ quy chiếu. Hiện tượng này do Michelson và Morley phát hiện năm 1887, nó trái ngược với trực giác và định kiến của mọi người trước năm thần kỳ 1905 vì họ tưởng (nhầm) rằng nếu vận tốc ánh sáng đo trên bến là c thì đối với người trên bến vận tốc ánh sáng đo trên tàu phải là c ± v (tùy theo ánh sáng chạy song song cùng chiều hay ngược chiều với tàu). Cũng vậy, người trên tàu khi đo vận tốc ánh sáng sẽ thấy vận tốc đó phải khác với vận tốc ánh sáng truyền đi trên bến, sự khác biệt đó cho ta v. Nay ta hãy thay bến bằng ether (một chất liệu giả tưởng trải rộng khắp vũ trụ nhờ đó sóng điện từ nói chung và ánh sáng nói riêng truyền đi, như vậy ether được coi như một hệ quy chiếu hoàn toàn bất động), và thay tàu bằng trái đất di động. Michelson và Morley khi so sánh vận tốc ánh sáng phát ra theo hai chiều đối ngược nhau trên trái đất, nghĩ sẽ đo được vận tốc v của làn gió ether thổi so với trái đất coi như đứng yên. Nhưng hai ông sau bao lần đo lường thấy vận tốc ánh sáng lúc nào cũng vẫn bằng nhau, và như vậy không sao phát hiện nổi sự hiện hữu của ether. Đó là nghịch lý của cơ học cổ điển Galilei-Newton với định kiến chỉ có một thời gian phổ quát (t’ = t) và một không gian tuyệt đối chẳng mảy may liên hệ với thời gian. Thực thế - trường hợp vận tốc v song song cùng chiều với trục Ox - cơ học cổ điển cho ta x’ = x – vt, y’ = y, z’ = z, t’ = t như vậy thì s² không sao bất biến được. Trái lại phép hoán chuyển Lorentz x’= k (x- vt), y’ = y, z’ = z, t’ = k (t –(xv/c²)), với k = 1 ⁄ √(1− v² ⁄c²) làm cho s² bất biến. Giải đáp nghịch lý này bằng nguyên lý tương đối áp dụng cho sự vận hành của ánh sáng là gốc nguồn của lý thuyết tương đối hẹp mà Einstein, Lorentz, Poincaré đã đóng góp vào. Nếu w là vận tốc của vật chuyển động trên tàu, thì - đối với người đứng trên bến - luật cộng trừ vận tốc w ± v (cơ học cổ điển cho ta) chỉ là dạng xấp xỉ gần đúng và phải được thay thế bởi công thức (w ± v)/(1 ± w v/c²). Bạn đọc sẽ ngạc nhiên và thích thú nhận thấy khi w = c, công thức (w ± v)/(1 ± w v/c²) không còn tùy thuộc vào v nữa mà lúc nào cũng bằng c, minh hoạ thực nghiệm của Michelson và Morley.
[13]Mà ta có thể ‘đoán’ được k qua s²: s² = r² – (ct)² = r’² – (ct’)². Thực thế thời gian t’ chỉ định bởi đồng hồ di động đặt ở vị trí x’, y’, z’ ( r’ = 0), cho ta ct’– 0 = (ct)√(1 – r²/t²c²) = (ct)√(1– v²/c²), do đó t = kt’. Ðồng hồ trong tàu di động chỉ một giây, người ở ngoài thấy dài hơn một giây, đồng hồ ở trong tàu như chạy chậm lại.
[14]Một gam khối lượng tuy nhỏ nhưng tiềm ẩn một năng lượng khổng lồ tương đương với nhu cầu dinh dưỡng của vài chục ngàn người trong vài năm! Từ hệ số k = 1 ⁄ √(1− v² ⁄c²) ông nhận ra là khối lượng m của một vật không cố định mà tăng lên với vận tốc của nó, m(v) = m ⁄ √(1− v² ⁄c²). Khi triển khai hạn chế theo (v² ⁄c²) «1, m(v) = m + [1/c²] (½)mv² +… mà (½)mv² chính là động năng quen thuộc của cơ học, Einstein đã tìm ra công thức của thế kỷ E = mc²/√(1− v² ⁄c²) công bố tháng 10 năm 1905. Cũng trong bài báo đó ông còn bình giải ý nghĩa vật lý của công thức: khối lượng m (của bất kỳ một vật chất nào) chỉ là sự tích tụ năng lượng E (chia cho c²) của vật đó (khi nó không di động, v = 0). Phương trình E = mc²/√(1− v² ⁄c²) quả là một thay đổi cách mạng trong sự hiểu biết và nhận thức về vật chất: năng lượng và khối lượng cùng chung một bản thể. Ðặc biệt ánh sáng thuần tuý (năng lượng) có thể tạo ra vật chất ! Ngoài ra ông còn đề xuất phương cách kiểm chứng E = mc² bằng thực nghiệm, một vật - chẳng hạn hạt nhân radium phóng xạ tự nhiên - khi mất đi (hay thu nhận) một chút năng lượng δE thì khối lượng nó giảm đi (hay tăng lên) δE/c².
[15]Thuyết tương đối hẹp bảo cho ta trên các hệ quy chiếu di chuyển với vận tốc v, thước đo không gian (theo hướng song song với v) bị co cụm lại với hệ số 1/k = √(1− v² ⁄c²), trái lại (theo hướng thẳng góc với v) thước đo không thay đổi. Cũng thế khoảng cách thời gian dãn nở ra với hệ số k, hay là nhịp độ tích tắc đồng hồ đập chậm đi k lần trong một đơn vị thời gian. Trên vệ tinh của Hệ thống Định vị Toàn cầu (Global Positioning System, GPS) trang bị các phương tiện vận tải, sự chính xác cực kỳ của nhịp độ đồng hồ là điều kiện tối quan trọng cho GPS thành công. Bạn đọc sẽ thấy ở các vệ tinh GPS, thuyết tương đối rộng cho ta hệ quả ngược với thuyết tương đối hẹp, khoảng cách thời gian co cụm lại (đồng hồ tích tắc nhanh hơn) vì cường độ trọng lực trên đó giảm đi so với mặt đất. Sự co dãn thời gian (nhịp độ đồng hồ) của các vật chuyển động khác nhau đã được thực nghiệm kiểm chứng nhiều lần với độ chính xác cực kỳ, tiếp nối bởi biết bao ứng dụng thực tiễn trong đời sống con người .
[16]Người bạn thân thiết nhất từ thuở hàn vi, người duy nhất ông cảm ơn trong công trình để đời đăng trên Annalen der Physik về thuyết tương đối hẹp trong lúc hai người dạo chơi bàn luận ngày Chủ nhật tháng Năm năm 1905, trong bài đó ông không hề trích dẫn một tài liệu tham khảo nào mặc dầu lúc ấy chẳng ai biết đến ông, đủ thấy cá tính con người siêu việt này. Chữ "gläubige" trong bức thư không nên hiểu theo nghĩa tín ngưỡng tôn giáo, mà hàm ý xác tín vào lý trí. Bức thư gửi chưa đến một tháng thì Einstein cũng vào cõi vĩnh hằng.
[17]Tựa như đường thẳng (quỹ đạo của hạt di chuyển không gia tốc) biến dạng ra các hình conic (quỹ đạo của hạt di chuyển có gia tốc), hay hình cầu của bóng đá biến dạng ra bóng bầu dục (ellipsoïd) vì tác động của trọng lực. Hình học cong này có thể nhận ra khi ta đứng yên quan sát một người ở trong một sàn quay chung quanh trục thẳng góc với sàn. Anh ta đo chu vi của sàn sẽ thấy lớn hơn π ≈ 3.14 lần đường kính của sàn. Thực thế, vận tốc v của sàn quay tiếp tuyến với chu vi của nó, vậy thước đo chiều dài chu vi sàn bị co lại (phụ chú 15), trong khi đường kính sàn vì thẳng góc với v nên thước không co. Vòng tròn trong hình học phẳng có chu vi bằng π đường kính của nó, nhưng trong hình học cong vì thước đo chu vi co cụm nên chu vi lớn hơn π đường kính.
[18]Khi viết Aμ Bμ hay Aμν Bμν (với một hay nhiều chỉ số cái trên, cái dưới ), thì ta phải cộng tất cả các đóng góp của chỉ số lại, thí dụ Aμ Bμ = A0 B0 + A1 B1 + A2 B2 + A3 B3, ημν dxμ dxν = ηoo dx0 dx0 + ηi i dxidxi + η0i dx0 dxi + ηij dxidxj (i, j = 1,2,3 và i≠j). Xin nhớ rằng tuy Aμ , Bμ hay Aμν, Bμν đều là những vectơ hay tenxơ mang nhiều thành phần, quy ước tổng hợp Riemann-Einstein cho ta Aμ Bμ hay Aμν Bμν chỉ có một thành phần duy nhất, nó là một đối tượng hình học vô hướng (scalar).
[19]Gauss mới khoảng mươi tuổi trong lớp tiểu học, để giữ cho học trò khỏi quấy, ông giáo cho bài toán sau đây: tính tổng số của một trăm số nguyên 1+2+…+100. Trong khi cả lớp loay hoay cộng dần vài số và kiểm điểm từng đoạn tính toán cho chắc, Gauss nhìn trăm số nguyên một cách tổng quát, thấy từng cặp số đầu (1) + số cuối (100) cũng như số thứ nhì (2) + số áp cuối (99), 3 + 98 vân vân, tất cả 50 cặp đều như nhau và bằng 101. Vậy chỉ vài phút sau , cậu bé Carl Friedrich hãnh diện mang đáp số 101x50 =5050, trước nỗi kinh ngạc của cả lớp từ thầy đến bạn. Tên ông cũng gắn liền với đơn vị cường độ từ trường, với định lý Gauss dùng trong điện tĩnh. Để mua vui bạn đọc, xin nhắc đến một thần đồng nước ta, Lê Quý Đôn, sinh trước Gauss, với bài thơ tạ lỗi vì cậu dạng chân tay trần truồng (giống chữ Thái trong Hán tự) để đố bạn cha mình là chữ gì (ông bạn tưởng là chữ Đại), hai chữ Thái và Đại viết khác nhau chỉ có một cái chấm mà riêng con trai mới có. Cái độc đáo là mỗi câu thơ mang tên một con rắn: “Chẳng phải liu điu vẫn giống nhà, Rắn đầu biếng học lẽ không tha, Thẹn đèn hổ lửa đau lòng mẹ, Nay thét mai gầm rát cổ cha, Ráo mép chỉ quen tuồng dối trá, Lằn lưng cam chịu vết roi cha, Từ nay trâu lỗ xin siêng học, Kẻo hổ mang danh tiếng thế gia.”
[20]Mỗi hệ số μ, ν có 4 giá trị 0, 1, 2, 3, vậy ma trận 4×4 gμν có 4 × (4 + 1)/2 = 10 thành phần đối xứng trong hoán chuyển μ↔ ν , và 4 × (4 − 1) )/2 = 6 thành phần bất đối xứng.
[21]Khi tất cả 10 gμν đều cùng dấu ta có bóng bầu dục (ellipsoïde, đề tài của Riemann), khi gμν có dấu khác nhau như trường hợp ημν, ta có hình hyperboloïd mà Einstein nghiên cứu.
[22]Đường trắc địa trên bề mặt quả cầu là những hình tròn lớn (cùng đường kính với quả cầu). Trong hình học Minkowski vì ημν mang dấu ±1 nên cạnh AC (trên trục thời gian) của tam giác ABC lại dài hơn tổng cộng hai cạnh AB + BC, và đường thẳng trắc địa nối A và C lại là đường dài nhất. Điều kiện để con đường ŁAB = ∫BA ds (diễn tả bởi sự di chuyển của điểm xλ = xλ (s), thông số s đo độ dài trên con đường) có chiều dài tối ưu là xλ (s) phải tuân theo phương trình vi phân bậc hai:
d²xλ /ds² + Γλμν [dxμ /ds] [dxν/ds] = 0 (1)
Đại lượng Γλμν (hệ số Christoffel) trong phương trình (1) là những đạo hàm của metric gμν(xλ), tính theo công thức sau (với định nghĩa ∂μ gνσ ≡ dgνσ /dxμ )
Γλμν = (½) gλσ [∂μ gνσ + ∂ν gμσ ≡ ∂σ gμν] (2)
[23]Có 40 = 4 × 10 hệ số Christoffel Γλμν (4 từ λ, 10 từ μν), và gλσ là ma trận nghịch đảo của gλσ (gλα gλβ = δα β, ký hiệu Kronecker δα β = 0 khi α ≠ β và = 1 khi α = β ). Trong hình học phẳng Minkowski không gia tốc, vì metric ημν giản đơn chỉ là những con số ±1 nên theo (2) hệ số Christoffel Γλμν = 0, vậy (1) rút gọn thành d²xλ /ds² = 0, do đó xλ (s) = aλ s + bλ , chứng tỏ đường trắc địa trong hình học phẳng là đường thẳng.
Sự liên kết ct với vectơ không gian ba chiều x tạo ra tứ-vectơ không-thời gian xμ (ct, x), một đối tượng bốn thành phần, thường xuyên dùng trong thuyết tương đối hẹp. Cũng vậy năng lượng E và xung lượng (p = mv) liên kết thành tứ -vectơ năng-xung lượng với bốn thành phần: pμ (E, cp). Từ pμ ta xây dựng tenxơ năng-xung lượng Tμν, một ma trận 4×4 (đối xứng μ ≡ ν) mà 4 thành phần đường chéo là mật độ năng lượng E và áp suất P (tỉ lệ với xung lượng p), cùng 6 thành phần hỗn hợp giữa E với áp suất P. Sau chót ta định nghĩa Tμν ≡ gμα gνβ Tαβ, và T00 ~ E = kmc2.
[24]Thuyết tương đối rộng của Einstein thay thế và bổ sung cho định luật vạn vật hấp dẫn của Newton, thuyết cổ điển này chỉ là trường hợp xấp xỉ gần đúng của thuyết Einstein khi mật độ vật chất nhỏ (trọng trường yếu).
[25]Tổng thư ký Hàn lâm Viện Hoàng gia Anh, nhà thực vật học đầu tiên phát hiện ra tế bào, nhà thiên văn lỗi lạc có nhiều công trình phong phú (dự đoán luật hấp dẫn 1/ r² và động lực học) nhưng bị thiên tài Newton áp đảo nên ít được hậu thế nhắc đến. Lò xo một đầu buộc chặt vào tường, đầu kia kéo dài bởi một quả cân là thí dụ điển hình của hiện tượng đàn hồi, sự biến dạng sẽ từ từ mất đi khi lực căng nhỏ dần.
[26]Tenxơ Ricci Rμν lấy từ những hệ số Christoffel như sau: Rμν ≡ ∂α Γαμν – ∂ν Γαμα + Γαβα Γβμν – Γαβν Γβμα. Sau hết khi nhân ma trận gμν (nghịch đảo của gμν) với Rμν, ta có một đại lượng vô hướng R ≡ gμν Rμν. Chính đại lượng R (mà riêng Einstein đã tìm ra và đặt thêm vào Rμν ngày 25/11/1915) này đóng vai trò cần thiết để tương thích với luật bảo toàn năng lượng mà Tμν phải tuân theo. Trước đó năm 1913 khi Grossmann và Einstein cộng tác, hai người đã đi gần tới đích với Bμν = Rμν không thôi.
[27]Trường hợp trọng trường yếu (mật độ năng khối lượng nhỏ như hệ mặt trời), metric gμν không khác metric phẳng ημν bao nhiêu : gμν(x) = ημν + hμν(x), với x = |x|, và |hμν(x)| « 1, hμν(x) thay đổi chậm chạp cũng như Tij « T0i «T00 (xung lượng p = mv ≈ 0). Phương trình trội nhất R00 – (½)R g00 = (8πG/c4)T00 cho ta luật của Newton: h00(x) = 2GM/(c2x) ≡ 2 U(x)/c2 ≈ 10–9, M là khối lượng trái đất, x là khoảng cách từ tâm quả đất đến vật mà ta khảo sát, và U(x) = GM/x là thế hút của trái đất làm cho vật rơi với gia tốc g = –dU(x)/dx ≈ 9. 81m/s2.
[28]Trong hệ thống đơn vị đo lường mét (m), kilogram (kg), giây (s), G = 6.67×10–11 và κ ≈ 2 ×10–43 quá nhỏ, không gian quá cứng nhắc khiến ta hiểu tại sao xưa nay chẳng ai ngờ nó bị uốn cong bởi vật chất, chỉ ở đâu và khi nào có mật độ năng lượng lớn vô vàn mới biến dạng độ phẳng lặng của không-thời gian.
[29]Tần số N -nhịp độ tích tắc của đồng hồ (đặt ở điểm x) - thay đổi với cường độ của trọng trường vì metric g00(x) thay đổi với x, không cố định như η00: g00(x) = η00 + GM/(c2x) ≡ –1 + 2 U(x)/c2 (phụ chú 27). Đó chính là ý nghĩa của thời gian cong. Xin nhớ g00(x) là hệ số của (cdt)2 trong phương trình (I) nên ta suy từ đó ra mối liên đới giữa tần số N và g00(x):
N1/N2 = [g00(x2)/ g00(x1)]½ ≈ 1+ (1/c2) [U(x1) – U(x2)] (3)
Ở trên các vệ tinh GPS (điểm x1), cường độ trọng trường nhỏ hơn so với mặt đất (điểm x2), U(x1) < U(x2), vậy theo (3) N1 < N2, thời gian như co lại (nhịp độ tích tắc đồng hồ chạy nhanh hơn) trên các vệ tinh GPS. Cũng trên các vệ tinh này di chuyển với vận tốc v so với dưới đất, thời gian trên đó lại dãn nở ra (nhịp độ tích tắc đồng hồ chạy chậm lại) theo thuyết tương đối hẹp. Tác động của thuyết tương đối rộng và hẹp về nhịp độ thời gian đối nghịch nhau nhưng không hoàn toàn triệt tiêu trên vệ tinh, và nhu liệu máy tính được gắn trong GPS để phối hợp hai hệ quả đó. Sự co dãn thời gian trên các vệ tinh GPS được ước tính vào khoảng một phần tỷ (10–9), tuy nhỏ vậy nhưng cực kỳ quan trọng vì hệ thống định vị toàn cầu đòi hỏi sự chính xác bền vững đến một phần mười ngàn tỷ (10–13) của đồng hồ nguyên tử. Theo thuyết tương đối rộng, hai anh em sinh đôi một ở trên núi cao, một ở dưới đồng bằng, người ở dưới (vì trọng trường lớn hơn so với trên núi) thấy thời gian dãn nở ra hay đồng hồ chạy chậm lại và như vậy trẻ hơn người ở trên cao (một giây trong trăm năm!). Hiệu ứng Einstein về thời gian co dãn bởi trọng trường được kiểm chứng nhiều lần trên các hỏa tiễn bay cách xa mặt đất khoảng 10000 km, ở đấy đồng hồ chạy nhanh hơn độ 4.10–9 giây.
[30]Thực ra khi vắng vật chất (Tμν = 0), không-thời gian chỉ mất đi cấu trúc cong thôi, ta vẫn còn chẳng những không-thời gian phẳng của Minkowski mà cả muôn vàn sóng trọng trường dao động trong một không-thời gian rỗng tuếch phi vật chất chẳng do đâu tạo ra cả. Không-thời gian chỉ thực sự biến mất (khi Tμν = 0) nếu ông thêm vào vế trái của phương trình (II) một số hạng mới Λgμν và ông gọi Λ > 0 là hằng số vũ trụ. Tuy nhiên cái nội dung sâu sắc của bức thư là Einstein nhấn mạnh đến sự liên đới chẳng sao tách biệt giữa vật chất, lực, năng lượng, không gian, thời gian; một cách mạng trong nhận thức.
[31]Bài tổng kết trong hội thảo quốc tế về vật lý hạt cơ bản và năng lượng cao, Tokyo, 1978.
[32]Hai kiểm chứng là:
(a) khối lượng mặt trời tạo ra xung quanh nó một không gian cong uốn để cuộn khúc quỹ đạo của hành tinh gần mặt trời nhất - tức Thủy tinh - làm cho hành tinh này lại đến trước một tí chút 43’’ trong một thế kỷ (hiện tượng tuế sai) so với thời điểm mà thuyết hấp dẫn cổ điển của Newton chỉ định. Nhà thiên văn Pháp Le Verrier năm 1859 - dùng thuyết cổ điển Newton - khi tính toán chu kỳ Thủy tinh đã phát hiện ra sự tuế sai nhưng ông không sao giải thích nổi. Einstein - qua phép tính xấp xỉ bậc hai của phương trình (II) - tính toán ra độ cong không gian bởi khối lượng mặt trời, độ cong đó tác động lên chu kỳ của Thủy tinh và ông tìm ra đúng con số 43’’ thần diệu khiến tim ông dữ dội đập như ông về sau kể lại cho bạn bè. Những hành tinh khác vì ở xa mặt trời nên chẳng mấy bị ảnh hưởng bởi độ cong không gian quá nhỏ, ở xa mặt trời thuyết hấp dẫn cổ điển của Newton rất chính xác và Le Verrier tháng Tám năm 1846 đã tiên đoán sự hiện hữu của Hải vương tinh mầu xanh lơ rất đẹp mà ngay đêm 23 tháng Chín năm ấy đã được đầu tiên nhìn thấy trên bầu trời nước Pháp.
(b) Cũng như mọi vật chất khác, ánh sáng từ một thiên thể xa xăm đến với ta sẽ bị uốn cong khi đi gần mặt trời. Để quan sát được tia ánh sáng bị bẻ cong đó ta cần mặt trăng che lấp mặt trời (nhật thực) rồi so với ánh sáng ban đêm (không có mặt trời) đến từ cùng một thiên thể. Sự khác biệt (giữa ban ngày nhật thực và ban đêm) của tia ánh sáng cho ta biết không gian bị uốn cong bao nhiêu bởi khối lượng mặt trời. Thuyết tương đối rộng tiên đoán độ cong phải bằng 1.75’’ và hai phái đoàn của Hàn lâm Viện Hoàng gia Anh được gửi đi Brasil và đảo Principe để quan sát ánh sáng bị bẻ cong nhân dịp nhật thực ngày 29 tháng Năm năm 1919. Kết quả đo lường đúng như Einstein tiên đoán và sau buổi họp vô cùng căng thẳng và xúc động ngày 6 tháng Mười Một năm 1919 của Hàn lâm Viện Hoàng gia Anh, báo chí khắp nơi trên thế giới đưa tin này (Newton nhường ngôi, Einstein đăng quang!) làm ông bỗng nhiên một sớm lừng danh trong đại chúng, mặc dầu thời ấy tin đồn chỉ có ba người trên thế giới hiểu được thuyết tương đối rộng!